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人们总是热衷于做很多行业的排行榜，在数学家的排行榜上，公认的阿基米德，牛顿，高斯，欧拉，黎曼稳居前五。假如还有人钻牛角尖，非要在这五位大神里选出NO1,可能至少一半的人都会把票投给高斯。没错，高斯在数学上的创造力和地位基本上是无人撼动的，也是当之无愧的数学王子。  高斯大神
别看高斯后来在哥廷根大学独当一面，甚至以一人之力让德国成为当时的世界数学中心，但是高斯的出身却是十分卑微的。1777年，高斯出生在一个泥瓦匠的家庭，母亲没有接受过教育，父亲曾经做过包工头。在这样的家庭环境里，真的难以想象会出现科学大师一类的人物。不过凡事总有转机，高爸爸做过很多工作，工头只是其中一个，他还做过商人助理，甚至保险评估师，正是评估师这个职位，让高斯有了数学上的启蒙。据说，高斯三岁就已经可以帮助父亲来算账了，这数学天赋显露地也太早了吧。  陪伴高斯小时候的萝卜灯
我们大家都知道高斯小时候关于简化1+2+3+...+100的计算，这种方法是在高斯9岁的时候想出来的。然而他的父亲却并不十分认可读书的意义，只是认为读书可以让高斯以后有个更好的出路。幸好，高斯的老师布吕特内尔与他的助手马丁·巴尔特斯已经完全被小高斯数学上的潜能折服，认为高斯绝非池中之物，他日定会成为举世闻名的数学大师。他们的眼光完全没有错，同时当地的著名人物卡尔·布伦瑞克也非常欣赏高斯的才能，从14岁开始就一直资助高斯完成学业。有了这样良好的外部条件，高斯在求学之路上一帆风顺。1795年，高斯18岁就进入哥廷根大学学习，并在第二年做出了第一个让高斯名留青史的成果。  哥廷根大学
在进入哥廷根大学之前，高斯的数学才能就已经比较有名了，在大学里教授他数学的导师自然对他是另外对待。每天都会布置给高斯三道题作为晚上的作业。高斯一向都完成得很好，老师也相当满意。在1796年的某一天，这位老师可能是还没想好布置哪三道题给高斯做习题，糊里糊涂地把一道困扰人类2000多年的难题也混在这三道题里。高斯也不知道这种情况，拿回去就开始做了起来。前面两道常规问题，对于高斯而言那是没有任何难度的，不到2小时，完全解决，于是继续第三题。然而高斯越做越头大，看来这道题真是个挑战。 这道题就是： 能否仅用直尺和圆规作出一个正十七边形。 高斯的努力和勤奋就像他与生俱来的数学天赋一样熠熠生辉。这最后一题做不出来，我就不休息！于是，从傍晚到深夜，再到凌晨，最后直到拂晓。高斯终于深深喘了口气，他终于完成了老师交给他的作业。还没怎么休息的高斯，拖着疲惫的身体把作业交到了老师手里，并告诉老师，第三道题对于他来说太难了，他居然花了一夜才搞定。  正十七边形尺规作图问题
老师接过作业时手颤抖了，仔细地看下高斯的作业，心里也颤抖了，高斯是对的！困扰数学界2000年的难题居然被高斯在一个晚上就解决了！！！一个阿基米德，牛顿都头疼不已的题目在高斯这儿居然一个晚上就解决了！！！我们可以想象当时老师激动到无法言喻的心情。。。 下面晓然菌和大家来欣赏一下那个晚上高斯完成的旷世之作吧。 我们前面已经知道了可以尺规作图的前提条件是什么，就是所有的数必须要是规矩数才行。在三分一角的问题里，我们知道，假如三等分一角问题可以用尺规作图解决，  三等分角判定方程
那就相当于上面的方程里，cos(θ/3)可以用cos(θ)的加减乘除和有限次二次根式表达出来。那么对于正十七边形来说，可以尺规作出的条件是什么呢？角度(2π/17)可以用尺规做出来，也就是要证明cos(2π/17)是个规矩数，即cos(2π/17)可以用有理数的有限次加减乘除和开方运算表示出来。 下面开始：  第一步 建立基本的等价关系式
由第(2)式和第(6)式，我们建立了一个关键的等价关系，这也为我们继续求解奠定了基础。  第二步 初步获得解决方案
到了第(10)式，我们采用的方法已经初步看到成效，下面关键的就是如何求出cosα，再继续：  第三步 完全建立等价的一元二次方程
这里的(13)式又是一个一元二次方程的根与系数的关系式，于是我们联立前面的(12)式，就可以解出cosα。这里最终的结果是：  第四步 最终求得cos(2π/17)
至此，我们终于得到了cosα的表达式，没办法，这个cos(2π/17)的表现形式就是这么恐怖。虽然这个值看起来繁杂不堪，但是，我们借助之前尺规作图成立的定理一下子就可以看出来，(14)式完全可以由有理数的加减乘除和有限次开平方得到，于是，正十七边形可以用尺规作出！ 这就是高斯那一晚的全部工作，堪称石破天惊。 我们来回顾一下高斯的解法的关键处。用高斯的方法，首先就是要将2π/17这个非特殊角度转换成用特殊角度的组合表示，其次就是对于三角函数的恒等变换，虽然这一步的工作相当基础，但是高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进，最终计算得到了cosα的精确值。 这里我们用到了2次一元二次方程根与系数的关系来求出中间过渡值，在正十七边形中，一直是一元二次方程的根式解在起作用。这是一个比较巧合的事情，那么对于别的正多边形呢？恐怕运气就不是那么好了，只要我们使用这套方法中途被卡住一步，那么整个推导就进行不下去了。如果求解过程中突然出现一个三次方程的求解，那么就宣布这条路走不通了。  高斯在解决这个问题的角色是建筑设计师
既然高斯证明了正十七边形可以尺规作出，那么具体的作法呢？高斯就没有参与了。这就好比是高斯是一座宏伟建筑的设计师，他从选址，材料，排水系统，建筑风格，以及主体架构等各个方面都提出了细致的方案。有了建筑师的设计方案，随便找个负责任的建造师都是可以把这座建筑建起来的。但是如果没有建筑师的工作，再优秀的建造师也是难为无米之炊。事实上，历史上的著名建筑，人们最多只会记得设计师是谁，几乎没有负责建造的人物在历史留下名字。高斯显然具有着数学家一向的高傲，时刻都要保持自身逼格不动摇，他不屑于去做建造师的活了。他把目标放得更加长远，准备去攻克最佳困难的问题了。历史上第一个正十七边形尺规作法的是约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）在1825年给出的。  高斯出现在德国发行的10马克纸币上
如果可以再研究深入一些，我们有可能会得到所有正多边形的尺规作图条件。事实上高斯的确做到了这一步。1801年，高斯时年24岁，已经跻身著名数学家的行列了。这一年，高斯发表了巨著《算术研究》，同年得出了正多边形可以尺规作图的判定条件。 尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。 我们知道就目前的研究来看，费马素数一共只有5个，3,5,17,257,65537。这5个费马素数与2的非负次方乘积的正多边形才可以尺规作出。比如：5=20×5,34=21×17,12=22×3。。。都可以用尺规作出，不满足这个条件的正多边形就不可以被作出了。值得一提的是，除了5个费马素数的正多边形可以尺规作出以外，其余任意素数正多边形都是不可以作出的。  费马墓地
至此，正多边形尺规作图这个难题终于被彻底解决，这是尺规作图领域一个重大问题，仅次于三大作图难题。 19岁，仅仅是高斯数学生涯巅峰的刚刚开始。
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发表于 2019-5-3 01:16:39
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