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转自公众号：奇略研究所
无穷是一个带有神秘感的概念，它持续吸引着古今哲学家。
《尸子》云：
这句话合起来是说，宇宙即无穷大空间与无穷大时间的集合。
“数学魔术师”约翰·康威，则发明了超现实数，将种类各异的无穷量纳入其中。
在本文中，潘达邀请读者朋友们一起，研究如何在棋盘上构造一个特定的无穷。
在构造无穷之前，首先我们要理解什么是“无穷”。
无论是哲学家还是数学家，都会说无穷脱胎于“有穷”。
更准确地说，无穷来自最最基本的概念——0,1,2,3等自然数。
那么，0,1,2,3等自然数又是什么呢？
或许你会问，小朋友都知道0,1,2,3 是什么意思，何必多此一问呢？其实这一设问并非吹毛求疵。
孔子曰：
数学史上著名的“第三次数学危机”，就是因为一处“名不正”的问题。
数学家罗素，用简单易懂的“理发师悖论”就使得现代数学大厦的根基摇摇欲坠。
这实质上是数学大厦的基础——朴素集合论，缺少一条关键公理的直接后果。
图1 伯特兰·罗素
为此，数学家创立公理化集合论，解决了正名的问题。
理发师悖论在公理化集合论体系下不再成为悖论。
另一方面，公理化集合论也同时用严谨的数学语言回答了，什么是0,1,2,3这一基本问题。
• 0就是空集，即0 = ∅. • 1就是只包含“0”的集合，即1={0}； • 2 就是只包含“0,1”的集合，即2={0,1}； • 3 就是只包含“0,1,2”的集合，即 3= {0,1,2}； • 以此类推…… • n 就是只包含 “0,1,2,3，……，n-1”的集合，即n={0,1,2,……,n-1}.
读者里的程序员朋友们可能已经看出来了，这是一种递归式的定义。
从“空集”这个最基本的概念出发，通过一层又一层的套娃，公理化集合论把每一个自然数定义为某个特定的集合。
此种定义自然数的方式，与道家思想不谋而合。
老子曰：
《道德经》云：
如果把“道”理解成“零”，也就是“空集”，那么道德经中的这句名言就和自然数的集合定义方式完全对应上了。
这种定义方式有一项不足，即把数目字与集合等量齐观，在直观上多少有点奇怪。
不过，或许有读者已经注意到，每个自然数对应的集合，其中的元素数量恰好就是该自然数的数值。
比如1={0}，等式右边“{0}”这个集合恰有一个元素，就是“0”；而等式左边的自然数值是1。
又比如3={0,1,2}，等式右边“{0,1,2}”这个集合恰有三个元素“0、1、2”，而等式左边的自然数值是3。
另外，0 = ∅，因为空集中有零个元素，等式左边是零，同样的等价关系仍成立。
通过递归地定义集合，我们可以获得任意大小的自然数。
不过，这样生成的自然数再大，也是有限大的。欲得到数学意义上严格的“无穷”，需要下述公理的辅助。
无穷公理：存在一个包含全体自然数的集合。
根据无穷公理，全体自然数的集合，{0,1,2,3，……}是合法的集合。
在前文，我们给出了n={0,1,2,……,n-1}的定义。
而{0,1,2,3，……}这个集合与前述集合形式类似，我们亦可为其指定一个数值，记作ω={0,1,2,3，……}（ω即小写希腊字母欧米伽Omega）.
就像每个自然数n等于其定义集合{0,1,2,……,n-1}的元素数量一样，ω等于{0,1,2,3，……}这个集合的元素数量，即为无穷大。
本文到目前为止，讲了一大堆看上去有点玄的数学理论，还没有和围棋拉上关系。
那么，“无穷大”ω究竟怎么能和围棋拉上关系呢？
在《数学魔术师Conway》一文中，笔者潘达提到康威发明的超现实数（Surreal Number）。
康威发明超现实数的灵感来源是围棋，而且围棋的一种变体——无停着围棋（双方均不能停着pass，某方无合法着数即判负），也可以将超现实数具象化。
比如，在《数学魔术师Conway》一文中有如下表示超现实数1={0| }的无停着围棋局面。
图2 1={0|}
这个图中，超现实数1={0| }的含义的一种诠释是，黑方即将获胜，且若轮到白方落子，白方只能保证再撑过0回合。
换句话说，如果黑棋不下错，那么白方连多撑一回合都无法保证。
事实也是如此，若黑棋下在A位，那么白棋只能在D或E自填，连一回合都撑不到。
在著名专业数学问答网站mathoverflow上，用户“PyRulez”提出了这样一个问题：“是否存在一个围棋局面，它对应着无穷大ω这个超现实数？”
提问者贴心地给出了详细的问题解释。
ω在超现实数体系下的定义是这样的：ω={0,1,2,3，……| }；这与ω的集合论定义形式上非常相似，二者的本质也是一样的。
对应到围棋上，ω则是一个黑棋必能获胜的局面；而若轮到白方落子，则白方可以主动选择不同的分支，这些分支上白方分别能保证撑过0回合，1回合，2回合，3回合，……；
换句话说，白方想撑过多少回合，就能撑过多少回合，但白方最终难逃一败。
图3 超现实数的示意图，ω位于本图正上方
这样一道大开脑洞，看上去有些难为人的问题，用户“Joel David Hamkins”竟然解答出来了。
潘达用MultiGo软件修饰重绘了Joel给出的解答，见下图。 图4 Joel David Hamkins给出的局面
首先需要说明的是，这张图展示的不是完整的局面。
请读者想象，这张棋盘可以向右方和下方无限延展，并且棋形也按照图中展示的规律向右方和下方无限延展。
这个局面，黑棋的铁壁包围着白棋中央向右方无限延展的长棍，而白棋的长棍只有三口气。长棍上每隔十个棋子就有一处“突触”。
为了简化问题，我们假设棋局的胜负完全取决于中央白棋那条长长棍子的生死（因为白棋长棍的生死确实攸关胜负，所以此假设是合理的）。
从围棋技术角度看，虽然黑棋的包围圈上有一系列断点（{A0，B0，A1，B1，A2，B2, ……}），但是由于白棋长棍仅剩三口气，逃脱包围圈只是一种奢望。
因此，白方难逃一败，剩下的问题就是白方能撑过多少回合。
比如说，白方可以在A4位置切断。黑棋若是安全起见，则可以在B4粘上。
但白A4断-黑B4粘这个交换，白方已经额外获得了一回合的生存时间。
然后白棋可以再找右边的一处突触切断，继续延长生存时间。
如果黑方希望将白方的生存时间缩到最短，以补断应对切断是不明智的，应该直接回到左上角收气。
接下来，白棋可以尝试征吃黑棋。不过，由于盘面预置的黑棋引征之子，白棋无法征死黑棋，只能通过叫吃延续四回合的生命。
在此过程中，白5不能在8位跳枷。因为白棋长龙只剩两气，所以白若跳枷，则黑方可以直接在左上收气，白棋生存的时间反而更短。
此局面向右边、下边延展时，其余部分的棋形完全按照规律重复，只有引征一子离白棋大龙越来越远。
这样一来，如果白方起手选择在第n处突触的An处切断，那么白方就能保证让大龙多活至少n回合（这里的n是任意自然数，0,1,2,3，……）。这与超现实数ω={0,1,2,3，……| }的定义完全吻合。
由此可见，图4所示的局面，就是我们最开始希望在棋盘上构造的超现实数ω，亦即一种在数学上有严格定义的“无穷大”。
在数学上，尤其是在康威的超现实数体系下，无穷大与无穷大之间也是有大小区别的。像ω这个数，就是一种比较小的“无穷大”。
根据定义，ω是自然数集元素的个数，因此ω也被称为自然数集的基数（ordinal number）。
两个不同的基数，即使都是无穷大，也可以比较大小。比如实数集的基数大于自然数集的基数。限于篇幅，本文对此问题浅尝辄止，不做展开讨论。
棋盘的主要功能是给聪明的头脑们一方竞技的天地。不过，研究棋艺之外的问题，探索棋艺之外的世界，则别有一番妙趣。
潘达与朋友在群里讨论此问题时，有一位朋友感慨，康威发明的生命游戏（Conway’s Game of Life），虽然规则简单，却能自发生成三千世界。
围棋相比生命游戏，则有过之而无不及。潘达深感认同。
围棋的规则同样简单，区区纵横十九道，没有“四方上下”，没有“古今往来”，竟能自成一方宇宙。
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发表于 2022-1-31 00:30:12
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